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Considere a soma S de n inteiros consecutivos a partir do 1,

S = (1 + 2 + 3 + ... + n), o valor da soma é igual a n.(n+1)/2,

vamos exemplificar com n=4:

Se n=4, S = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

vejamos o valor de n.(n+1)/2 = 4.(4+1)/2= 4.5/2 = 20/2 = 10

Prove que a soma de n inteiros consecutivos a partir de 1 é sempre a seguinte, para qualquer n:

1 + ... + n = n . (n+1) / 2

 

 

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Prove que:   x2 - y2 = (x - y) . (x + y)

 Sejam a, b e c números quaisquer, então:

  a . (b + c) = a . b + a . c  (lei distributiva)

Aplicando-se a lei distributiva teremos o seguinte:

(x - y) . (x + y) = (x + (-y)) . (x + y) = x . (x + y) + (-y) . (x + y) =

x . (x+y) - y . (x + y) = x2 + x.y – (y.x + y2) = x2 + x.y – y.x - y2 =  x2 – y2

 

Provamos matematicamente !

 

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Prove que |a+b| <= |a| + |b| para quaisquer números a e b.

Relembrando o conceito de módulo ou valor absoluto de um número.

Se a>=0 -> |a|=a,  exemplo: |5|=5   (a)

Se a<0 -> |a|=-a,  exemplo: |-5|=5   (b)

O resultado é sempre um número >=0

 Será que essa desigualdade proposta é sempre verdade? Vamos testar para alguns números:

|8+5|<=|8|+|5|   ->   |13| <= |8|+|5|  ->   13=8+5  é verdadeiro !

|8-5|<=|8|+|-5|  -> |3| <= |8|+|-5| ->  3< 8+5 é verdadeiro !

Vamos à prova matemática de que a desigualdade proposta é sempre verdadeira...

Para isso vamos considerar 4 casos possíveis para a e b:

  1.  a>=0, b>=0;
  2.  a>=0, b<=0;
  3.  a<=0, b>=0;
  4.  a<=0, b<=0.

Caso 1: se ambos são positivos a sua soma também é positiva e utilizando a definição de módulo acima (a), temos |a+b|=a+b=|a|+|b| e então provamos que é sempre verdadeira se os números a e b são >=0

Caso 4: se ambos são negativos a sua soma também é negativa e utilizando a definição de módulo acima (b), temos |a+b|=-(a+b)= -a+(-b)=|a|+|b| e então provamos que é sempre verdadeira se os números a e b são <=0

Caso 2: como temos nesse caso que a>=0, b<=0 a prova se torna o seguinte: |a+b|<=|a|+|b| -> |a+b| <= a - b

esse caso deve ser subdividido em dois subcasos, o subcaso em que a+b>=0 e o subcaso em que a+b<0

           Caso 2.1 (a+b>=0)

                 |a+b| <= a - b   ->  a+b<=a - b, ou seja +b <= -b  ->   que sempre será verdade se b for zero ou negativo

           Caso 2.2 (a+b<0)

                 |a+b| <= a - b   ->  -a-b<=a - b, ou seja -a <= a  ->   que sempre será verdade se a for zero ou positivo

e então provamos que é sempre verdadeira se a>=0 e b<=0

 

Caso 3: como temos nesse caso que a<=0, b>=0 a prova se torna o seguinte: |a+b|<=|a|+|b| -> |a+b| <= b - a

esse caso deve ser subdividido em dois subcasos, o subcaso em que a+b>=0 e o subcaso em que a+b<0

           Caso 3.1 (a+b>=0)

                 |a+b| <= b - a   ->  a+b<=b - a, ou seja +a <= -a  ->   que sempre será verdade se a for zero ou negativo

           Caso 3.2 (a+b<0)

                 |a+b| <= b - a   ->  -a-b<=b - a, ou seja -b <= b  ->   que sempre será verdade se b for zero ou positivo

e então provamos que é sempre verdadeira se a<=0 e b>=0

 

Provamos matematicamente que a desigualdade é sempre verdadeira!