Prove que |a+b| <= |a| + |b| para quaisquer números a e b.
Relembrando o conceito de módulo ou valor absoluto de um número.
Se a>=0 -> |a|=a, exemplo: |5|=5 (a)
Se a<0 -> |a|=-a, exemplo: |-5|=5 (b)
O resultado é sempre um número >=0
Será que essa desigualdade proposta é sempre verdade? Vamos testar para alguns números:
|8+5|<=|8|+|5| -> |13| <= |8|+|5| -> 13=8+5 é verdadeiro !
|8-5|<=|8|+|-5| -> |3| <= |8|+|-5| -> 3< 8+5 é verdadeiro !
Vamos à prova matemática de que a desigualdade proposta é sempre verdadeira...
Para isso vamos considerar 4 casos possíveis para a e b:
- a>=0, b>=0;
- a>=0, b<=0;
- a<=0, b>=0;
- a<=0, b<=0.
Caso 1: se ambos são positivos a sua soma também é positiva e utilizando a definição de módulo acima (a), temos |a+b|=a+b=|a|+|b| e então provamos que é sempre verdadeira se os números a e b são >=0
Caso 4: se ambos são negativos a sua soma também é negativa e utilizando a definição de módulo acima (b), temos |a+b|=-(a+b)= -a+(-b)=|a|+|b| e então provamos que é sempre verdadeira se os números a e b são <=0
Caso 2: como temos nesse caso que a>=0, b<=0 a prova se torna o seguinte: |a+b|<=|a|+|b| -> |a+b| <= a - b
esse caso deve ser subdividido em dois subcasos, o subcaso em que a+b>=0 e o subcaso em que a+b<0
Caso 2.1 (a+b>=0)
|a+b| <= a - b -> a+b<=a - b, ou seja +b <= -b -> que sempre será verdade se b for zero ou negativo
Caso 2.2 (a+b<0)
|a+b| <= a - b -> -a-b<=a - b, ou seja -a <= a -> que sempre será verdade se a for zero ou positivo
e então provamos que é sempre verdadeira se a>=0 e b<=0
Caso 3: como temos nesse caso que a<=0, b>=0 a prova se torna o seguinte: |a+b|<=|a|+|b| -> |a+b| <= b - a
esse caso deve ser subdividido em dois subcasos, o subcaso em que a+b>=0 e o subcaso em que a+b<0
Caso 3.1 (a+b>=0)
|a+b| <= b - a -> a+b<=b - a, ou seja +a <= -a -> que sempre será verdade se a for zero ou negativo
Caso 3.2 (a+b<0)
|a+b| <= b - a -> -a-b<=b - a, ou seja -b <= b -> que sempre será verdade se b for zero ou positivo
e então provamos que é sempre verdadeira se a<=0 e b>=0
Provamos matematicamente que a desigualdade é sempre verdadeira!
